Hubbard 模型(ㄧ):动机与定义

发布时间:2020-06-07 | 作者: | 来源:http://www.tt153.com/info_48791.html

Hubbard 模型(ㄧ):动机与定义

前两篇文章跟读者定性地讲述了在讨论金属性质时,大家所谓的典範式的兰道理论是什幺意思。笔者预计再花至少一两篇文章聊聊现在当红的「怪金属」(Strange metal)和「坏金属」(bad metal),探讨它们与正常金属的差异,并尽笔者能力所及跟大家说明背后的原因。

在那之前,笔者想跟大家花几篇文章的空间来聊聊一个也可以有非费米液体(non-Fermi liquid)的简单模型。

说是一个模型,其实精确而言是一个模型与它的各种变形。

在科普文中拿理论物理的特定模型来探讨往往是很不讨好的。其一,模型往往离现实的量测还有一段距离,比较难让一般来说读者有直接的体会 ; 其二,实例的一些特徵往往牵涉到定量的计算,对于一般读者,这并不是最友善的呈现方式。

但从另外一个角度思考,这或许可以让大家理解理论物理学家在面对複杂问题时,如何去萃取中最关键的元素,又或是在研究一个相对简单的模型时,如何推论出一些适用性更广的结论。至于技术性的、定量的讨论,在电脑技术发达的今日,可部分地将数值呈现成图表来让大家有更直观的感受。

这个系列文的重点在所谓的 Hubbard 模型。这个模型一开始是被提出来研究过渡金属中的电子运动,而后被进行各种改造,至今仍是强关联系统内一个重要的课题。在更精确地定义今天的版本前,让我们在看看这个问题内的基本元素。

Hubbard 模型(ㄧ):动机与定义

Figure1. (photo credit: 作者自绘) Hubbard 模型示意图。我们以蓝色圆球代表粒子,Hubbard 模型基本上就是放一堆粒子在晶格的节点(红色圆框)上。粒子可以在相邻的节点间跳跃(左上),当两个粒子跑到同一个节点时,他们会感受到交互作用(右下)。

在 Hubbard 模型中,空间的背景是一个给定的晶格,空间维度可以是 1, 2, 3 维,几何结构可以是正立方体(cubic lattice)、三角晶格(triangular lattice)、蜂窝晶格(honeycomb lattice)。进而我们将一些粒子(费米子 (fermion )或玻色子 (boson))放到节点上,考虑他们可能的动力学。

一个模型的动力学依赖于我们「允许」这些粒子做些什幺事。首先我们要控制放了多少个粒子进去,在统计力学的一个表述内,平均的粒子数可以藉由调整化学势(chemical potential)来控制。接下来我们让粒子们有能力活动,最简单的状况是,我们让粒子可以在邻近的节点上跳跃,在一个週期性的晶格中,这样只有「动能」的问题是可以解的,因为粒子们看不见彼此,一个 1,000 个粒子的问题基本上只是 1,000 个一个粒子的问题。下一步就是让粒子们「看见彼此」,现实世界中电子们看得见对方,是因为他们之间有库伦位能,库伦位能是一个远距离的交互作用,对我们来说还是複杂了点,作为第一步,我们考虑一个极限的状况,也就是两个粒子间具有交互作用仅仅当他们处在同一个节点上。(这样的简化并不会过于不切实际,因为在实际的问题中,库伦力常常被屏蔽,也因此没有那幺长距。)

这就是我们的 Hubbard 模型,它具有三个参数:化学势 μ,决定平均而言我们放了多少粒子进去这个系统,跃迁常数 t(hopping constant)决定粒子在相邻两晶格点间跳跃的能力(微观上,这个数字可以对应到一个粒子从一个点上穿隧到另外一个点的程度。),位能 U,决定当两个粒子位于同一个晶格上的时候,他们之间交互作用的程度。最后还有一个热力学参数是温度 T。(在理论的讨论中,我们当然可以任性地考虑绝对零度的物理,但当要在实验上準备这样的系统时,我们必须确保温度够低以至于量子效应可以呈现出来。)

这个模型看起来很单纯,然而,在任意维度的晶格上,人们迄今并没有简单而且完整的了解。但从已经掌握的知识中,我们知道费米子版本的 Hubbard 模型在不同的温度和掺杂条件下它的基态至少可以呈现反铁磁(antiferromagnet)、赝隙(pseudogap)、非常规超导性(unconventional superconductivity)、费米液体、怪金属等相。玻色子版本的 Hubbard 模型则提供我们一个简单的模型来研究超流体与 Mott 绝缘体(Mott insulator)间的相变化,甚至在相变化的临界点(critical point)实现低能量版本的希格斯粒子 (Higgs particle)。

在实验上,虽然他们并不直接对应到实际的金属与电子系统,但今日超冷原子(ultracold atoms)实验的技术已经可以在光学晶格(optical lattice)中分别实现玻色跟费米版本的 Hubbard 模型,让整个故事更有趣的是,实验学家们有能力精确地控制化学势、跃迁常数与位能,甚至可以透过控制不同方向的跃迁常数来渐进地变化空间维度,这允许了我们在实证的程度上极大可能地去探索简单模型中的物质相,也让理论计算上的预测结果有了许多直接的比较对象。

在本系列中,我们将分别考虑玻色子与费米子的 Hubbard 模型,并就人们目前已经了解的物理,也就是前面出现的那些专有名词,尽可能跟读者解说已知的现实、已经在实验上验证的现象与期待的发展。

Hubbard 模型(ㄧ):动机与定义

Figure2. (photo credit: 作者自绘) 在学术演讲中常见的费米子 Hubbard 模型的物质相图(以温度和交互作用为参数)。

Hubbard 模型(ㄧ):动机与定义

Figure3. (Photo credit: 作者自绘) 在学术演讲中常见的费米子 Hubbard 模型的物质相图(以温度和掺杂为参数)。

连结:

Hubbard 模型(ㄧ):动机与定义Hubbard 模型(二):玻色 Hubbard 模型Hubbard 模型(三):费米 Hubbard 模型:简单的解析事实(上)Hubbard 模型(四):费米 Hubbard 模型:简单的解析事实(下)Hubbard 模型(五):自旋液体与价键固体